A quarta dimensão
Nossos olhos só enxergam três dimensões, mas a matemática trabalha com quatro sem esforço. Assim como um cubo 3D projeta uma sombra 2D na parede e cria polígonos quando atravessa a superfície da água, aqui você gira objetos 4D reais (Tesserato, Hiperoctaedro e o exclusivo 24-Células) e observa tanto a sombra 3D quanto a fatia onde eles cruzam o nosso universo.
Mouse ou dedoToque3D (placa de vídeo)
Observe o Tesserato girando nos planos 4D (XW, YW e ZW): o cubo interno parece atravessar o externo e virar do avesso, mas todas as 8 células têm exatamente o mesmo tamanho em 4D.
Como usar
- Mova o controle “corte W” de -1,45 a +1,45 e repare na malha verde: é a seção transversal 3D exata do objeto 4D ao atravessar nosso espaço.
- Troque para o “Icositetracoro (24 células)”, um sólido regular perfeito que só existe na 4ª dimensão.
- Arraste a cena para girar em 3D, ou segure Shift enquanto arrasta para girar diretamente na 4ª dimensão.
Gostou da composição? Guarde este momento.
Baixa uma imagem PNG da cena atual, sem os controles. Não inclui animação ou som.
Como isso funciona?
01Cada vértice tem quatro coordenadas (x, y, z, w). Enquanto o espaço 3D possui apenas 3 planos de rotação (XY, XZ, YZ), o espaço 4D possui 6 planos independentes no grupo ortogonal SO(4), preservando todas as distâncias em 4D.
02Para desenhar na tela, fazemos duas projeções em cadeia: primeiro uma projeção em perspectiva de 4D para 3D dividindo por (d − w), e depois a câmera 3D projeta para os pixels 2D do monitor.
03A fatia verde resolve a interseção analítica de cada aresta 4D com o hiperplano w = w₀, mostrando como um ser tridimensional veria um objeto 4D passando pela sua sala.